水电之家讯：图1所示是一RC串联电路。可分三种响应对其进行暂态分析。

1、零状态响应

图1 RC电路

所谓RC电路的零状态，是指换路前电容元件未储有能量，即 。在此条件下，由电源激励所产生的电路的响应，称为零状态响应。

在图1中，如果在t=0时将开关S合到位置1上，电路即与一恒定电压为U的电压源接通，对电容元件开始充电，其上电压为 。

根据基尔霍夫电压定律，列出 时电路的微分方程

(1)

上式的通解有两个部分：一个是特解 ，一个是补函数 。

特解取电路的稳态值，或称稳态分量，即



补函数是齐次微分方程



的通解，其形式为



代入上式，得特征方程



其根为



式中， ，它具有时间的量纲，所以称为RC电路的时间常数。

因此，式(1.37)的通解为



图2零状态响应 设换路前电容元件未储有能量，即初始值 ，则 ，于是得

(2)

其随时间的变化曲线如图2所示。

当 时

即从t=0经过一个τ的时间 增长到稳定值U的63.2%。

从理论上讲，电路只有经过t=∞的时间才能达到稳定。但是，由于指数曲线开始变化较快，而后逐渐缓慢。所以，实际上经t=5τ的时间，就足可认为达到稳定状态了。τ愈小，曲线的增长就愈快。

由式(2)也可求出 和 ，即

(3)

(4)

2、零输入响应

所谓RC电路的零输入，是指无电源激励，输入信号为零。在此条件下，由电容元件的初始状态 所产生的电路的响应，称为零输入响应。

如果在图3中，当电容元件充电到 时，即将开关S从位置1合到2，脱离电源(输入为零)，电容元件开始放电，稳态值 [初始值 ]，则经求解可得

(5)

其随时间的变化曲线如图4所示。

图3 RC电路

图4 零输入响应

当t=τ时



即从t=0经过一个τ的时间uC衰减到初始值 的36.8%。τ愈小，衰减愈快。

由式 (5)也可求出

(6)

(7)

上两式中的负号表示放电电流的实际方向与图1中所选定的参考方向相反。

3、全响应

如果在图5中，电容元件初始电压为 ，t=0时，将开关S从位置合到2，电路即进入全响应。

图5RC电路

所谓RC电路的全响应，是指电源激励和电容元件的初始状态 均不为零时电路

的响应，也就是零状态响应与零输入响应两者的叠加。

(8)

由式 (8)可写出分析一阶线性电路暂态过程中任意变量的一般公式，即

(9)

只要求得初始值 、稳态值 和电路时间常数τ这三个“要素”，就能直接写出电路的响应(电压或电流)。这就是一阶线性电路暂态分析的三要素法。

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